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戦略評価の統計学第11回（発展補講）

マルチフラクタル市場の数理：
一般化Hurst指数・MFDFA・MRW

読了目安: 約28分前提: 対数収益・期待値・分散・回帰更新日: 2026-09-11

金融リターンは、単純な独立同分布のランダムウォークより、裾が厚く、荒い時間がまとまって現れます。マルチフラクタルは、この間欠的な変動を「時間尺度を変えたとき、異なる大きさの変動がどう拡大縮小するか」で記述します。ここでは図形の自己相似ではなく、モーメントのスケーリング則を数式から扱います。

先に結論

モノフラクタルではスケーリング指数ζ(q)がqに対して直線、マルチフラクタルでは非線形になります。ただし非線形性は、真の時間依存だけでなく、ファットテール、有限標本、季節性、外れ値、スケール範囲の後付けでも生じます。原系列・シャッフル系列・サロゲート系列を比較し、推定誤差とOOSを含めて初めて結論を出します。

尺度τのリターン

価格P(t)の対数をp(t)=ln P(t)とし、時間幅τの対数リターンを次で定義します。

r τ (t) = p(t+τ) - p(t) = ln[P(t+τ) / P(t)]

τを1分、5分、1時間、1日と変えたとき、r_τの分布がどう変化するかを調べます。ブラウン運動のような単純な自己相似過程では、尺度をa倍すると振幅はa^H倍になり、1つのHurst指数Hで全体を表せます。

X(at) ≍ a H X(t) ≍は有限次元分布が等しいことを表します。標準ブラウン運動ならH=1/2です。

H = 0.5：ブラウン運動型の基準。
H > 0.5：持続性を示唆。ただし非定常トレンドでも大きく見える。
H < 0.5：反持続性を示唆。ただしマイクロストラクチャー・ノイズでも小さく見える。

1つのHだけで小変動と大変動を同時に説明できないとき、qごとに指数を変える一般化へ進みます。

構造関数とζ(q)

q次の絶対モーメントを、尺度τごとに計算した構造関数を考えます。

S q (τ) = E[|r τ (t)| q] S q (τ) \propto τ ζ(q) log S q (τ) = c q + ζ(q) log τ log-log回帰の傾きがζ(q)。qが大きいほど大変動、qが負なら小変動を強く重み付けします。

構造	ζ(q)	意味
独立Gaussianランダムウォーク	ζ(q)=q/2	直線。H=1/2
一般のモノフラクタル	ζ(q)=qH	1つのHで全qを説明
マルチフラクタル	ζ(q)が非線形	変動の強さごとに異なるスケーリング

定常増分を仮定する単純な記法では、一般化Hurst指数をH(q)=ζ(q)/qと置けます。H(q)がqに依存すればマルチスケーリングの候補です。

H(q) = ζ(q) / q H(q)=一定 \to モノフラクタル H(q)が変化 \to マルチフラクタル候補

各qのlog–log傾きζ(q)を並べ、直線性からのずれを見る

特異性スペクトルf(α)

ζ(q)の非線形性を、局所的な粗さαと、その粗さを持つ集合の次元f(α)へ変換します。Legendre変換を使います。

α(q) = dζ(q) / dq f(α) = qα - ζ(q) + 1 Δα = α max - α min 1次元時系列の記法。文献の定義によって+1やτ(q)との関係が変わるため、採用規約を明記します。

狭いスペクトル：ほぼ単一の粗さ。モノフラクタルに近い。
広いスペクトル：多様な局所スケーリング。ただし有限標本でも幅はゼロにならない。
左右の非対称：小変動側と大変動側でスケーリングの多様性が異なる候補。

Δαを1つ出して終わりにせず、bootstrap信頼区間と、同じ長さ・同じ分布を持つ対照系列との差を報告します。

MFDFAの計算手順

Multifractal Detrended Fluctuation Analysis（MFDFA）は、トレンドを局所的に除去しながらh(q)を推定する代表的手順です。

1. プロファイルを作る

Y(i) = Σ k=1 i [x k - x̄], i=1,\dots,N

2. 長さsの区間へ分割し、局所トレンドを除く

Nがsで割り切れない端点を捨てないよう、先頭と末尾の両側から分割して合計2N_s区間を作ります。各区間νでm次多項式y_ν,mをfitします。

F²(ν,s) = (1/s) Σ i=1 s {Y[(ν-1)s+i] - y ν,m (i)}²

3. q次の変動関数を集約する

F q (s) = { (1/2N s) Σ ν=1 2Nₛ [F²(ν,s)] q/2} 1/q, q \neq 0 F 0 (s) = exp{ (1/4N s) Σ ν=1 2Nₛ ln[F²(ν,s)] }

4. スケーリング範囲でh(q)を推定する

F q (s) \propto s h(q) τ(q) = qh(q) - 1 α = dτ/dq, f(α) = qα - τ(q)

h(q)とH(q)の規約を混ぜない

定常なfGn型系列と非定常なfBm型系列では、DFA指数とHurst指数の対応が1だけずれることがあります。入力が価格、リターン、絶対リターンのどれか、積分プロファイルを何回作ったか、文献の定義を必ず記録してください。

Multifractal Random Walk

Bacry・Delour・MuzyのMultifractal Random Walk（MRW）は、短期ショックεへ、長い相関を持つ対数ボラティリティωを掛ける考え方です。方向ショックが予測不能でも、変動の大きさに長い記憶を持たせられます。

r Δt (t) = ε Δt (t) exp[ω Δt (t)] Cov[ω(t),ω(t+τ)] \approx λ² ln[T/(τ+Δt)], Δt \leq τ \leq T εは短期ノイズ、ωは対数ボラティリティ、λ²は間欠性、Tは積分スケール。

よく使われる正規化の一つでは、MRWのスケーリング指数はqに対して放物線になります。

ζ(q) = q/2 - (λ²/2)q(q-2) 平均調整とパラメータ定義で式の表現は変わります。論文・実装間でλ²をそのまま比較しないでください。

λ²=0ならζ(q)=q/2となり、ブラウン運動型の直線へ戻ります。λ²が正なら大きなqほど直線から曲がり、強い間欠性を表します。

マルチフラクタル性の発生源を分ける

観測されたh(q)の変化には、少なくとも2つの原因があります。

分布由来：ファットテールや極端値により、q次モーメントの推定が尺度ごとに不安定になる。
相関由来：大小の変動の並び方、長期記憶、非線形依存が尺度構造を作る。

系列	保つもの	壊すもの	比較の意味
原系列	分布・線形/非線形依存	なし	観測された総効果
シャッフル系列	周辺分布	時間順序と相関	分布だけで残る幅
位相ランダム化サロゲート	概ね線形相関とスペクトル	非線形構造、分布の一部	線形相関だけでは説明できない差

各対照を1本だけ作らず、同じNの系列を多数生成してΔα、h(q)、ζ(q)の帰無分布を作ります。

FXデータでの検証プロトコル

対象を固定：通貨ペア、Bid/Mid、足種、期間、タイムゾーン、週末除外を事前登録する。
季節性を処理：時刻別ボラティリティを推定し、ロンドン開始やロールオーバーの周期成分を分離する。
スケール集合を固定：s_min、s_max、対数間隔、最低区間数を結果を見る前に決める。
q範囲を固定：大きい正qは少数の極端値、負qは小変動と価格刻みに支配される。複数の妥当な範囲で頑健性を確認する。
多項式次数mを固定：mを上げるほど柔軟だが、短いsで自由度を消費する。
回帰診断：log F_q(s)対log sの残差、折れ曲がり、局所傾き、scale別標本数を報告する。
対照系列：shuffle・surrogate・既知のmonofractal simulationと比較する。
不確実性：block bootstrapでh(q)、Δα、λ²の信頼区間を出す。
分割をずらす：年、レジーム、データ配信元を変え、同じスペクトルが残るか確認する。

スケーリング範囲を後から選ばない

最も直線に見える区間だけを選べば、ほぼどの系列にも「美しい」指数を作れます。候補範囲の試行数を記録し、近傍の範囲へずらした感度を必ず示してください。

売買へ接続するときの限界

マルチフラクタル分析が直接答えるのは、変動の分布と尺度構造です。次の足の符号、エントリー価格、損切り位置は答えません。売買へ使うなら、例えば「推定λ²やΔαの上昇後は将来実現ボラティリティが高い」という別の予測仮説へ変換します。

RV t+1:t+h = β 0 + β 1 Δα t + β 2 RV t-w:t + ε t+h 既存の実現ボラティリティだけを使う基準モデルに対し、Δαの限界寄与をpurged OOSで比較します。

窓w、q範囲、scale範囲、m、予測期間hはすべて試行Nへ加える。
比較対象は単純な履歴ボラティリティ、HAR、GARCHなど事前に固定する。
方向予測へ使うなら、符号のないΔαがなぜ方向を予測するのか経済的仮説が必要。
OOS改善が統計的にあっても、売買コストとポジション制約を含めて判断する。

チェックリスト

入力系列と定常性、積分回数を明記した
q・s・mを結果を見る前に固定した
ζ(q)の非線形性を信頼区間付きで示した
shuffle・surrogate・有限標本対照と比較した
日中季節性、週末、DST、価格刻みを処理した
マルチフラクタル性と売買エッジを分けた
特徴量として使う場合は基準モデルへのOOS限界寄与を測った

ミニテスト

Q1. モノフラクタルとマルチフラクタルをζ(q)で区別すると？

1つのHならζ(q)=qHの直線です。qごとに有効指数が変わると湾曲します。

Q2. シャッフル系列が保つものは？

原系列との差から時間依存の寄与を、残った幅から分布・有限標本の寄与を調べます。

Q3. 負のqを大きく使うと何に敏感になる？

負qはF²の小さい区間を強く重み付けするため、微小値とデータ精度に不安定です。

Q4. Δαが将来ボラティリティを予測するか調べる正しい方法は？

既存の履歴ボラティリティ等を超える情報かを、漏洩を除いた未見期間で確認します。

参考資料

Mandelbrot, Fisher and Calvet, A Multifractal Model of Asset Returns（1997）
Bacry, Delour and Muzy, Multifractal Random Walk（2001）
Kantelhardt et al., Multifractal Detrended Fluctuation Analysis of Nonstationary Time Series（2002）
概説は単発記事効率的市場仮説とはを参照。