非定常性とレジーム条件付き評価：利益分布はいつ変わったのか

全期間でプラスの戦略でも、現在と異なる相場状態だけで利益を得ていたなら運用判断には使えません。成績を一つの分布へ圧縮せず、観測可能な状態で条件付け、その状態と損益分布の両方が時間を越えて保たれるかを調べます。

定常性を正確に定義する

確率過程X_tが強定常なら、任意の時点集合を同じ幅だけずらしても同時分布が変わりません。実務で多く使う弱定常は、平均が一定で、共分散が時点そのものではなくラグだけに依存するという、より弱い条件です。

E[X t] = μ Cov(X t, X t-h) = γ(h) 平均・分散・自己共分散の構造が時間で変わらない。

金融市場では、この条件が永久に成立すると期待するのは現実的ではありません。そこで「検証窓の中では変化が許容範囲」という局所定常の近似を置きます。ただし窓を短くすると古いレジームの混入は減る一方、推定分散は増えます。

「非定常は絶対に定常化できない」とは言い切らない

差分・対数化・季節調整で決定的トレンドなどを除ける場合があります。またLLNやCLTにも、独立同分布以外で成立する一般形があります。重要なのは用語の断言ではなく、採用した変換後の過程に必要な仮定が妥当かを検査することです。

全期間の平均だけでは、どの状態で利益が生じたかを区別できません。

無条件成績を条件付きへ分解する

収益Rと、意思決定時点の状態S∈{1,…,K}を考えます。無条件期待値は、状態別期待値を状態確率で加重したものです。

E[R] = Σ s=1 K P(S=s) E[R | S=s]

無条件期待値が低下したとき、原因は二つあります。状態別のエッジE[R|S=s]が弱くなったのか、利益を生む状態P(S=s)が出現しなくなったのかです。両者は運用対応が異なります。

分散も状態内のばらつきと、状態間の平均差へ分けられます。

Var(R) = E[Var(R | S)] + Var(E[R | S]) 第1項は状態内リスク、第2項はレジーム平均の違いが作るリスク。

観測された変化	考えられる原因	確認するもの
P(S)だけ変化	相場状態の出現頻度が変わった	状態占有率、継続時間
E[R\|S]が変化	状態内のエッジが劣化	状態別CI、勝率、ペイオフ
Var(R\|S)が増加	同じ状態名でも内部が不安定	尾部、DD、分布距離
すべて変化	状態定義自体が陳腐化	上流特徴量と分類器

レジームを事前情報で定義する

状態変数Z_tには、直前までの実現ボラティリティ、スプレッド、出来高、金利差、トレンド強度などを使えます。必要条件は、注文時点の情報集合ℱ_tで測定できることです。

Z t \in ℱ t, S t = g(Z t; θ train)

当日高値・安値を終値前のシグナルへ使わない。
全期間の33%・66%分位で低中高ボラを作らない。
景気後退の確定日など、後から改定・公表されたラベルを当時既知としない。
HMMやクラスタの標準化・パラメータをテスト期間込みで学習しない。

レジーム定義は経済的意味を先に置きます。「高ボラだから逆張りを止める」なら、なぜその状態で約定・尾部・平均回帰速度が変わるのかを説明します。色分け後に一番良い区分を選べば、新しい探索です。

状態数を増やしすぎない

K状態に分けると各セルの標本数は急減します。年×時間×通貨×ボラ×トレンドを同時に切れば、見かけの差は簡単に作れます。各セルn、95%CI、探索した全定義数を報告します。

分布ドリフトを測る

平均差だけでなく、trainとOOSの分布全体を比べます。一変量なら経験CDF間のWasserstein-1距離が直感的です。

W 1 (P,Q) = \int -\infty \infty |F P (x) - F Q (x)| dx

離散化した分布にはJensen–Shannon距離も使えます。KL divergenceは一方のビン確率が0だと発散し、ビン幅にも敏感です。どの距離も単独の普遍的合格ラインはないため、train内の自然変動やブロック・ブートストラップから基準を事前に作ります。

比較対象	目的	最低限の併記
P(Z)	入力状態の出現分布	状態占有率、継続時間
P(R\|S)	状態内の損益分布	平均CI、下位分位、DD
P(features\|S)	状態定義の上流安定性	分布距離、欠損率
P(fill\|signal,S)	執行可能性	滑り、拒否、スプレッド

fold内で検証する

レジーム分析はCPCVやウォークフォワードの外に付ける後処理ではありません。各foldのtrainだけで変換と状態定義を学習し、testへ固定適用します。

疑似コード：レジーム条件付きOOS

for train_idx, test_idx in purged_splits:
    scaler.fit(features[train_idx])
    z_train = scaler.transform(features[train_idx])

    regime_model.fit(z_train)
    s_train = regime_model.predict(z_train)
    s_test  = regime_model.predict(
        scaler.transform(features[test_idx])
    )

    strategy.fit(train_idx, s_train)
    r_oos = strategy.evaluate(test_idx, s_test, costs=True)

    report_by_regime(r_oos, s_test)
    compare_train_oos_distributions(...)

レジーム変数の窓が将来へ伸びる場合は、その区間もPurging対象です。境界、状態数、距離指標、窓幅、分類器を比較した数は候補数として実行前にNへ加えます。

N new = N previous + N strategy \times N regime definitions

複雑なモデルは柔軟ですが、推定に長い履歴を必要とします。長い履歴は古い構造を混ぜます。モデル複雑度と学習窓長は別々に後付け調整せず、一つの事前登録された選択問題として扱います。

運用中の変化検知

フォワードでは、状態別期待値の基準μ₀から負方向へずれた累積を監視できます。単純な片側CUSUMは次の形です。

C t = min(0, C t-1 + r t - μ 0 + k) C t < -h なら診断のため一時停止

kは許容する小さな変化、hは警報閾値です。損失を見て動かすのではなく、バックテストまたはシミュレーションで誤警報率と検出遅延を決めます。自己相関があるため、iid前提の閾値をそのまま使いません。

警報は「エッジ消滅の証明」ではない

データ欠損、時刻、注文、スプレッド、状態占有率の変化を先に診断します。警報後に閾値を緩める場合は、新しい研究IDと追加Nが必要です。

限界とチェックリスト

将来に未知の状態を、過去の状態分類から保証できない。
条件付けは交絡を減らせても因果関係を証明しない。
分布距離が小さくても、尾部の経済的に重要な差を隠すことがある。
状態別分析は標本を細分化し、推定誤差を増やす。
危機時だけ働く戦略は、平常時の不安定さだけで棄却しない。

強定常・弱定常・局所定常を区別した
状態変数が意思決定時点で観測可能
境界・標準化・分類器をtrain内だけでfitした
P(S)とP(R|S)を分けて報告した
状態別n・95%CI・下位分位を掲載した
試したレジーム定義をNへ加えた
ドリフト警報と停止後診断を事前登録した

ミニテスト

4問で確認します。

Q1. 無条件期待値が変わる二つの主因は？

P(S)とE[R|S]を分けます。

Q2. ボラ分位の境界を推定する正しい範囲は？

test情報を境界作成へ漏らしません。

Q3. レジーム定義を5通り比較して選んだら？

結果選択へ使った比較は試行です。

Q4. CUSUM警報が直接証明するものは？

まずデータ・実装・執行・市場状態を切り分けます。

参考資料

着想と実装例はQuant GuildのNon-Stationarity and Why Market Timing Fails、Profitable vs Tradable、Law of Total Expectation。数理的背景は Hamilton, A New Approach to the Economic Analysis of Nonstationary Time Series、Capponi et al., The Nonstationarity-Complexity Tradeoff in Return Prediction、逐次変化検知は Page, Continuous Inspection Schemesを参照してください。